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Fórmula de Bhaskara e relações de Soma e Produto

A fórmula de Bhaskara, nomeada em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria, é usada para resolver equações de segundo grau (também chamadas de equações quadráticas) na forma geral ax^2+bx+c=0, com coeficientes a, b e c reais, sendo a\neq0. A fórmula é dada por x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, com o termo dentro da raíz quadrada chamado de discriminante, sendo representado pela letra grega delta, onde \Delta=b^2-4ac.

O resultado da equação varia conforme o valor de \Delta, temos que se:

  • \Delta=0 a equação tem uma raíz real.
  • \Delta>0 a equação tem duas raízes reais.
  • \Delta<0 a equação tem dua raízes imaginárias.

Demonstração da Fórmula de Bhaskara

A demonstração da fórmula de Bhaskara baseia-se em completar quadrados:

ax^2+bx+c=0

 

a^2x^2+abx+ac=0

 

4a^2x^2+4abx+4ac=0

 

4a^2x^2+4abx+b^2+4ac=b^2

 

(2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac

 

(2ax+b)^2=b^2-4ac

 

Sendo assim, temos que

 

2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Soma e Produto das raízes de uma equação de segundo grau

Usando a Fórmula de Bhaskara podemos chegar em expressões para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do segundo grau.

Sejam x_1 e x_2 as raízes da equação ax^2+bx+c=0, então substituindo na fórmula de Bhaskara temos:

 

x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}

 

Ou seja, a soma (S) das raízes é dada por S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}.

Aplicando o mesmo raciocínio, chegamos no produto das raízes:

 

x_1\,.\,x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}

 

Sendo assim, o produto (P) entre as raízes é dado por P=x_1.x_2=\frac{c}{a}.

Resolvendo equações do segundo grau usando as relações de soma e produto

Podemos encontrar as raízes de uma equação do segundo grau sem usar a fórmula de Bhaskara diretamente, através das relações de soma e produto entre as raízes. Tomemos como exemplo a equação x^2+9x+14=0, da qual podemos tirar que:

 

S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-9}{1}=-9 e P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{14}{1}=14

 

Sendo assim, temos duas variáveis e duas novas equações. Isso nos permite encontrar x_1 e x_2 buscando por valores que satisfaçam as relações de S e P, que no caso são x_1=-2 e x_2=-7.

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Escrito por Rodrigo Faria

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A fórmula de Bhaskara é usada para resolver equações de 2º grau, porém, podemos resolvê-las através das relações de soma e produto entre suas raízes.