Wetenschap en technologie » Wiskunde » Spelen van de Detective met het Newcomb-Benford

Spelen van de Detective met het Newcomb-Benford

Een van de meest frustrerende situaties voor studenten wordt geconfronteerd met een nieuw wiskundig concept zonder juiste contextualisering, of nog, zonder de presentatie van praktische en reële situaties waar dit concept kan worden toegepast, waardoor het een betekenis en een gevoel. Dit is precies het geval wanneer we logaritmen in school bestuderen: De regels voor het gebruik van hen leren, werken met de logaritmische identiteiten (product, quotiënt, macht, wortel), de fundamentele veranderingen, enz. Maar in goede: Wat zijn logaritmen, Eindelijk? De waarheid is dat de logaritmen in onderwerpen zo divers als de kansrekening en de statistiek worden toegepast, computationele algoritmen, Fractals, muziek, onder andere; het probleem is in dit geval dat zij kennis van een breed scala aan andere onderwerpen te begrijpen en bewonder de schoonheid en de kracht van logaritmen in deze toepassingen vereisen, een roemloze taak voor elementaire student. Er is, Echter, een manier om te passen logaritmen in praktische situaties zeer dicht bij de realiteit van de student door middel van de zogenaamde wet van Newcomb-Benford.

Simom Newcomb - Lei de Newcomb-Benford

Simon Newcomb

DE Newcomb-Benford's law empirisch vaststelt dat in bepaalde numerieke gegevensbronnen het eerste cijfer niet aanwezig is een gelijkmatige verdeling van exemplaren van de cijfers van 1 tot en met 9, maar voordat een logaritmische verdeling aflopende hoe hoger het cijfer. Dit type distributie vindt plaats voor een breed scala van gegevenssets: aantal woonadres, bevolking per stad, sterftecijfers, boekhoudkundige balansen, Naast fysische en wiskundige constanten. Simon Newcomb, Canadese astronoom en wiskundige, was de eerste om te identificeren deze statistische principe, of op zijn minst te verslag formeel in uw artikel van 1881, waar beweert:

De tien cijfers komen niet met gelijke frequentie is duidelijk voor iedereen die veel gebruik maken van logaritmische tabellen en merk op hoe snel de voorpagina's dragen tegen de nieuwste. Het eerste nummer is doorgaans 1 meer dan enig ander, en de frequentie daalt tot 9.

Frank Benford

Frank Benford

Echter, Het viel op Frank Benford, Amerikaans elektrotechnicus en natuurkundige, herontdekking en generaliseren van dit beginsel in uw artikel uit 1938, geeft u de opmaak wiskunde nu bekend. Op dit punt denkt u misschien: "Oke, en het is deze wiskunde opmaak?”. Opmerking hieronder over welke Newcomb sprak:

 

 {P(d)=\log _{10}\left(1+{\tfrac {1}{d}}\right)}

Deze formule vertelt hoe waarschijnlijk P van een cijfer (d) optreden in een reeks getallen, en die heeft waarschijnlijk een logaritmische gedrag. In de formule, (d) het eerste cijfer van een getal is, en kan de nummers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9. Vervanging van één cijfer tegelijk in formule, We krijgen de waarschijnlijkheid van het optreden van elk cijfer in een cijferreeks, zoals aangegeven in de onderstaande tabel:

 

(d)

P((d))

1

30,1%

2

17,6%

3

12,5%

4

9,7%

5

7,9%

6

6,7%

7

5,8%

8

5,1%

9

4,6%

Uitleg van de wet van Newcomb-Benford in de praktijk

Met behulp van het voorbeeld uit te leggen van de wet van Newcomb-Benford, de waarschijnlijkheid van cijfer 1 treedt op als het eerste cijfer in een reeks getallen:

 {P(1)=\log _{10}\left(1+{\tfrac {1}{d}}\right)=\log _{10}(1+1)=\log _{10}(2)\cong\,0,31}

IE: 30,1%; voor het cijfer 2, de kans daalt tot 17,6%; en zo verder tot het cijfer 9, waarvan waarschijnlijkheid van het optreden daalt tot slechts 4,6%. Is dit wat Newcomb bedoelde toen hij zei dat "het eerste significante getal wordt over het algemeen de 1 meer dan enig ander, en de frequentie daalt tot 9". Want het is, Wij beloofden een praktische demonstratie, corrigeren? Dan is het tijd om die kostbare empirische tool te gebruiken, gedraagt zich als echte detectives. Voor degenen die in appartement wonen, je hebt waarschijnlijk gezien huis overeenkomen met de beheerder met de staat van uitgaven van uw condo. Goed, Laten we eens kijken naar een klein voorbeeld van deze declaratieformulieren:

Kosten

01/2016

02/2016

03/2016

Personeelskosten

Salarissen

4.088,00

5.068,00

9.020,65

INSS

2,609,12

5420,44

2,582,46

PIS

69,02

61,46

71,48

Vallei transport

199,40

98,80

98,00

FGTS

863,15

650,98

571,50

Federale bijdrage

106,12

110,65

110,65

Voorschot

2,217,00

1,630,00

1,851,00

Fundamentele mand

403,58

398,54

323,82

Kosten van cafetaria

63,00

48,00

97,60

De normale tarieven

Licht

1,773,96

2,214,26

2,289,06

Telecommunicatie

316,34

310,05

310,97

Instandhouding

Elektrische materialen

115,45

19,80

580,65

Andere materialen en uitrusting

869,46

549,46

558,61

Schoonmakende levering

606,00

47,71

672,71

Andere diensten verstrekt door derden

658,00

1,922,00

1,186,00

Hervorming en reparatie materiaal

809,20

1,617,24

2,177,09

Verwijderen van puin

340,00

240,00

85,00

Onderhoud van zwembad/Sauna

402,84

292,33

549,28

We gaan nu de selectie van het eerste cijfer van elk van deze uitgaven, markeren in vet:

Kosten

01/2016

02/2016

03/2016

Personeelskosten

Salarissen

4.088,00

5.068,00

9.020,65

INSS

2609.,12

5420.,44

2582.,46

PIS

69,02

61,46

71,48

Vallei transport

199,40

98,80

98,00

FGTS

863,15

650,98

571,50

Federale bijdrage

106,12

110,65

110,65

Voorschot

2217.,00

1630.,00

1.851,00

Fundamentele mand

403,58

398,54

323,82

Kosten van cafetaria

63,00

48,00

97,60

De normale tarieven

Licht

1773.,96

2214.,26

2289.,06

Telecommunicatie

316,34

310,05

310,97

Instandhouding

Elektrische materialen

115,45

19,80

580,65

Andere materialen en uitrusting

869,46

549,46

558,61

Schoonmakende levering

606,00

47,71

672,71

Andere diensten verstrekt door derden

658,00

1922.,00

1186.,00

Hervorming en reparatie materiaal

809,20

1617.,24

2.177,09

Verwijderen van puin

340,00

240,00

85,00

Onderhoud van zwembad/Sauna

402,84

292,33

549,28

Vervolgens, totalizamos het aantal exemplaren van elk van de cijfers gemarkeerd in vet:

Cijfers:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Gebeurtenissen:

12

8

6

5

7

7

1

4

4

We hebben een totaal van 18 items van de uitgaven meer dan drie maanden, een totaal van 54 items. De verhouding tussen het totaal aantal exemplaren van elk cijfer en het totale aantal uitgavenposten geeft ons het percentage van de gebeurtenissen voor elk cijfer:

Cijfers:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Reden:

12/54

8/54

6/54

5/54

7/54

7/54

1/54

4/54

4/54

Percentage:

22,2%

14,8%

11,1%

9,26%

12,9%

12,9%

1,8%

7,4%

7,4%

Verkregen door de waarden te vergelijken met die welke zijn vastgesteld door het recht van Newcomb-Benford, We hebben:

Cijfers:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Percentage:

22,2%

14,8%

11,1%

9,26%

12,9%

12,9%

1,8%

7,4%

7,4%

Wet N-B:

30,1%

17,6%

12,5%

9,7%

7,9%

6,7%

5,8%

5,1%

4,6%

Vergeet niet

Zo heeft de wet van Newcomb-Benford betekenis, de numerieke set moeten, ten minste, 100 objecten. Betekent dat, een meer nauwkeurige analyse, u zou moeten aan enkele maanden van verklaringen van de uitgaven met het oog op een aanzienlijke hoeveelheid items. Hoe dan ook, het resultaat hierboven toont een convergentie tussen de percentages gevonden en die verwacht door de wet aan de cijfers 1, 2, 3 en 4. En ik kan vertellen een verschil tot 5 cijfers, 6, 7, 8 en 9. In de maanden om te zien dat de percentages van alle cijfers naar de percentages van de Newcomb-Benford convergeren, betekent dat uw condo goed wordt beheerd. Anders… Het is goed dat de huurders start uitgaven meer volgen, omdat de deelname en de betrokkenheid van alle is dat het mogelijk maakt de goede werking van een condo, van een bedrijf en een land. Merk op dat u te maken gehad met verschillende bekende wiskundige technieken en geleerd op school: bedragen, breuken en procenten in toevoeging, Natuurlijk, van logaritmen.

En met deze hulpmiddelen en de kennis van de wet van Newcomb-Benford konden analyseren het gedrag van een boekhouding van de balans, gedraagt zich als echte detectives, en op een manier die weinigen weten! Om te beëindigen, niet zomaar een verzameling van getallen die deze empirische wet gehoorzaamt; Voor meer informatie, Zie op het internet: Wet van Benford, Newcomb-Benford's law, of voor degenen die onder de knie Engels: Wet van Benford.

Verwijzingen

  1. Newcomb., “Opmerking over de frequentie van gebruik van de verschillende cijfers in natuurlijke getallen”, American Journal of Mathematics, vol. 4 - in. 1, 39-40, 1881.
  2. Benford F., “De wet van abnormale nummers”. Proceedings of the American Philosophical Society 78 (4), 551-572, Maart-1938.
Dit delenShare on FacebookTweet about this on TwitterPin on PinterestShare on StumbleUponShare on LinkedInShare on RedditEmail this to someoneShare on Google+

Geschreven door Ricardo Nogueira

Ik ben Amerikaans elektrotechnicus, met een master's degree in micro-elektronica door USP en PhD niet voltooid in micro-elektronica, ook van USP.

Uw commentaar is welkom

Uw e-mailadres zal niet worden gepubliceerd. Verplichte velden gemarkeerd met *

*

Dit artikel zal uitleggen in detail het conflictenrecht Newcomb-Benford en leert hoe te berekenen in de praktijk en in de praktijk hun concepten.