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Semelhança de Triângulos e teorema de Pitágoras

Existe mais de uma forma de definir o que é um triângulo. Em linhas gerais, podemos dizer que um triângulo é uma figura geométrica delimitada por três segmentos de reta concorrentes dois-a-dois, em três pontos diferentes, com isso formando três lados e três ângulos internos cuja soma dá 180°. Definição simplificada: um triângulo é uma união de três pontos não-colineares, delimitada por três segmentos de reta entre esses pontos. O triângulo é o único polígono que não possui diagonais sendo que cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. Uma ferramenta importante para cálculos com triângulos é o teorema de Pitágoras, que será também apresentado.

Tipos de triângulos

Os triâgulos podem ser classificados conforme as medidas de seus lados ou segundo seus ângulos internos.

Classificação de triângulos segundo a medida de seus lados:

  • Triângulo escaleno: todos os lados (e ângulos) são diferentes

  • Triângulo isóceles: dois lados iguais (ângulos opostos a esses lados também são iguais)

  • Triângulo equilátero: todos os lados iguais (ângulos também iguais, todos tendo 60º)

Classificação de triângulos segundo seus ângulos internos:

  • Triângulo retângulo: tem um dos ângulos medindo exatamente 90º

  • Triângulo obtusângulo: tem um dos ângulos maior que 90º

  • Triângulo acutângulo: tem todos os ângulso menores que 90º

Semelhança de Triângulos

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando existe uma proporcionalidade entre eles, ou seja, quando os ângulos e lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo. Quando semelhantes, os ângulos dos triângulos serão iguais e os lados do primeiro triângulo serão proporcionais aos lados do segundo.

Apesar desse conceito, não é preciso que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. Para isso usamos os critérios de semelhança de triângulos identificados pelas siglas: AA, LAL, LLL.

Caso AA – Ângulo Ângulo

“Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.”

Caso LAL – Lado Ângulo Lado

“Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.”

Caso LLL – Lado Lado Lado

“Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.”

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras recebeu este nome em homenagem ao matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que desenvolveu a ideia de calcular o comprimento dos lados de triângulos retângulos através de uma fórmula fechada. Existem evidências de que na antiga Babilônia já se utilizasse esse mesmo teorema, porém não se sabe se conheciam uma forma tão geral quanto a proposta por Pitágoras.

Esse teorema é um caso particular da lei dos cossenos, desenvolvida pelo matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento de um lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos dos outros dois lados e a medida de um dos três ângulos.

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. O teorema afirma que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto.

Podemos, tomando a figura abaixo como base, equacionar o teorema da seguinte forma:

c^2 = b^2 + a^2.

Demonstração do teorema de Pitágoras

Há várias maneiras de se demonstrar a validade da equação c^2 = b^2 + a^2, apesar não se saber ao certo qual delas foi usada por Pitágoras. Aqui demonstraremos o teorema através da semelhança de triângulos.

Nesta demonstração nos baseamos na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes. Em decorrência dessa semelhança, a razão entre quaisquer dois lados correspondentes dos triângulos se mantém.

Seja ABC um triângulo retângulo com o ângulo reto localizado no vértice C e o segmento CH a altura do triângulo. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa c entre as partes d e e. O triângulo ACH é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto e compartilham o mesmo ângulo no vértice A, o que quer dizer que o terceiro ângulo \theta também é o mesmo. O mesmo raciocínio nos leva a perceber que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

\frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ e } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.

Estas relações podem ser escritas como:

a^2=c\times e \mbox{ e }b^2=c\times d.

Somando estas duas igualdades, obtém-se

a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2,

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2.

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Escrito por Rodrigo Faria

Um comentário

  1. Ajudou um pouco

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O triângulo é uma união de três pontos não-colineares e não possui diagonais. Uma ferramenta central para cálculos com triângulos é o teorema de Pitágoras.